خب کمی این‌جا را علمی و خسته کننده کنیم 🙂 فکر کردم بد نباشد خلاصه‌ای از یک مقاله که این روزها رویش کار می‌کنم را این‌جا بگذارم که بتوانم از ایده های بقیه استفاده کنم. موضوع مقاله تعیین ارزش اختیار توسعه ظرفیت برای تولیدکنندگان منابع طبیعی (مثلا نفت) است. ماجرا هم این است که یک تولیدکننده دارای قدرت بازار (Market Power) داریم که ظرفیت تولید محدودی دارد و لذا نرخ استخراجش نمی تواند از یک حد مشخص بیش تر شود. به عنوان مثال به وضعیت تولید نفت در ایران فکر کنید که در به ترین حالت حدود ۴ میلیون بشکه در روز است. حال اگر به هر دلیلی برای ایران بهینه باشد که ۵ میلیون بشکه تولید کند این کار امکان پذیر نیست. در ضمن این تولیدکننده این اختیار را دارد که در هر زمان که بخواهد با صرف یک سرمایه‌گذاری مشخص ظرفیت تولیدش را به مقدار مشخصی افزایش دهد. در واقع یک آپشن خرید آمریکایی عمرانه (Perpetual) در اختیار دارد. سوال این است که دوست تولیدکننده کی این اختیار را اجرایی می‌کند؟ البته “کی” در ادبیات اختیارات معنی زمانی ندارد و در فضای حالت (State Space) مطرح است. در واقع سوال این است که میزان شوک تقاضا باید چه قدر باشد تا تولیدکننده قانع شود که اختیار توسعه ظرفیتش را اجرایی (Exercise) کند.

تا جایی که من می‌فهمم این مساله به این شکل در ادبیات بررسی نشده است. ریشه ماجرا به یک مقاله قدیمی و بسیار مشهور در اقتصاد از هتلینگ (۱۹۳۱) بر می‌گردد. هتلینگ در این مقاله نشان داد که نرخ بهینه استخراج منابع طبیعی طوری است که قیمت آن ها در بازار با نرخ بهره رشد می کند. ماجرا خیلی شهودی است. اگر قیمت کم‌تر از نرخ بهره‌ رشد کند تولید فعلی زیاد می شود تا پول آن در بازار مالی سرمایه گذاری شود و لذا رشد قیمت زیاد می‌شود و اگر بیش‌تر از نرخ بهره رشد کند منابع زیر زمین رها می‌شوند تا در دوره بعد استخراج شوند. فقط وقتی رشد قیمت با نرخ بهره برابر باشد تولیدکننده برای تولید یا رها کردن محصول زیر زمین بی‌تفاوت می‌شود و بازار در تعادل قرار می‌گیرد. لم هتلینگ به دلیل پیش‌بینی مهم و قابل تستی که ارائه می‌کند یکی از بحث برانگیزترین مسایل اقتصاد بوده است و فکر کنم بخش اعظم ادبیات اقتصاد منابع فقط حول این لم و گسترش‌های آن نوشته شده است. این که آیا روند واقعی با پیش بینی مدل هتلینگ تطبیق کامل دارد یا نه و اگر ندارد چرا بحث مفصلی می‌طلبد.

لم هتلینگ در ابعاد مختلف گسترش یافته است. یک گسترش این بوده که فرض کنیم ظرفیت تولید محدود است و لذا برنامه ریزی پویایی که تولیدکننده حل می‌کند با یک محدودیت اضافه ظرفیت تولید مواجه است. این گسترش که به دنیای واقع هم نزدیک است باعث می شود تا ارزش یک منبع طبیعی کم تر از پیش بینی هتلینگ باشد. گسترش دیگر وارد کردن بحث تصادفی بودن متغیرهای حالت مساله مثلا تقاضا یا اندازه منابع یا هزینه ها و غیره به مدل است. وقتی این عناصر تصادفی می‌شود مساله در قالب یک مساله کنترل بهینه تصادفی حل می‌شود و جالب این که نشان داده می‌شود در برخی حالات تصادفی بودن مسیر بهینه استخراج را تغییر نمی‌دهد. وقتی ماجرا تصادفی می‌شود پای ارزش اختیارات (Option Value) وسط می‌آید و هیجان انگیز می‌شود.

با فرض ارزش اختیارات و هزینه بر بودن سرمایه‌گذاری و بازگشت ناپذیری آن، تصمیم برای توسعه ظرفیت دیگر به سادگی قبل نیست. تولیدکننده این اختیار را دارد که هر وقت دلش بخواهد به ظرفیت اضافه کند و تصمیم برای عملی کردن این اختیار در هر لحظه به معنی صرف‌نظر کردن از اختیار در آینده است. این اختیار قیمت دارد و مساله مهم یافتن این قیمت است. وقتی این اختیارات وجود داشته باشند رفتار بخش عرضه منابع طبیعی (مثلا نفت) جالب توجه می‌شود. از جمله این که اگر یک شوک تقاضا در بازار وارد شود طرف عرضه لزوما توسعه ظرفیت نمی‌دهد (چون نمی خواهد اختیارش را بسوزاند) و فقط وقتی این کار را می‌کند که شوک به اندازه کافی قوی باشد. این رفتار باعث می‌شود تا منحنی قیمت‌های آتی محصولات طبیعی در بسیاری مواقع در حالت عقب گرد (Backwaration) قرار گیرد که معنی‌اش این است که شوک موقتی آن قدر قوی نبوده که تولیدکنندگان را راضی به توسعه ظرفیت کند و لذا قیمت موقتا بالا می رود و بعد پایین خواهد آمد.

من مساله را فرموله کرده ام و دارم حلش می‌کنم. متاسفانه حل ریاضی قضیه خیلی راحت نیست. به علت این که مساله دو متغیر حالت اصلی (شوک تقاضا و منابع زیرزمینی) دارد وقتی معادله HJB مساله کنترل بهینه را نوشتم معادله دیفرانسیلی با مشتقات جزیی درجه دو غیرهمگن پیدا شد که فکر کنم راه حل تحلیلی ندارد. همین طور وقتی معادله ارزش آپشن آمریکایی را می نویسم این اتفاق می افتد. حل مساله آپشن هم نیازمند دانستن فرم تابعی جواب این معادلات و مشتق های آن ها است و این خیلی بد بود که جواب تحلیلی به دست نیامد. لذا مجبورم روش های عددی را امتحان کنم.

در روش عددی هم درخت دو جمله ای که استفاده می کنم به سادگی روش های معمول نیست چرا که این آپشن از نوع وابسته به مسیر (Path Dependend) است و لذا برای هر شاخه انتهایی متناسب با مسیر طی شده ارزش متفاوتی وجود دارد. دلیل وابستگی به مسیر هم از ماهیت مساله که در آن منبع طبیعی در حال استخراج و تهی شدن است بر می آید. بر خلاف مسائل ساده تر صبر کردن تا دوره بعدی باعث می شود تا مقدار منبع زیرزمینی کاهش یابد و لذا آپشن توسعه ظرفیت از جذابیت کم تری برخوردار شود. به این ترتیب مقدار متغیر حالت دوم (منابع) در گره های انتهایی تابع تحقق های (Realization) قبلی متغیرهای حالت اول در کل زمان های گذشته است چرا که شوک های متفاوت ممکن است جواب های متفاوتی برای مسیر بهینه استخراج ایجاد کند و لذا متناسب با این شوک ها به نقطه پایانی های متفاوتی می رسیم. البته دارم سعی می کنم ببینم آیا می شود موضوع را با نوعی سود سهام در آپشن آمریکایی تخمین زد یا نه.

خلاصه این کار شب و روز این هفته های من است که هر چه بیش تر می گذرد برایم جذاب تر هم می شود. امیدوارم تا یک ماه دیگر نسخه اولیه ای از کار را بیرون بدهم. اگر متخصص قیمت گذاری اختیارات یا کنترل بهینه تصادفی یا شبیه سازی یا معادل دیفرانسیل جزیی و موارد مشابه هستید خوش حال می شوم از راهنمایی هایتان استفاده کنم.

راستی ذکر این نکته هم بد نیست که از ابتدای ورود به عرصه فاینانس گفتم که دوست دارم به لحاظ روش یک اقتصاددان باقی بمانم و نمی خواهم تبدیل به متخصص مدیریت مالی شوم. این مساله نمونه ای از ترکیب اقتصاد منابع طبیعی و فاینانس است که روح اقتصادی آن خیلی پررنگ است.